両親が購入した住宅に住むことになりました。この場合親子間でも契約書を交わした方がいいのですか？

必ずしも契約書が必要というわけではありませんが、
家賃等を明確にするために契約書がある方が望ましいと言えます。

また、ご両親に家賃を支払う場合、ご両親が受取る家賃収入から減価償却費や固定資産税等の経費を差し引いた金額は、
不動産所得に該当します。したがって、不動産所得に対する所得税及び住民税を払うことになります。